Session de rattrapage 2022

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l'espace est rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(i) , vec(j) , vec(k)) `

On considère les points ` A (1, -1, 1) ` , `B(5, 1, -3)`

`(S) ` la sphère de centre `Omega(3,0,-1)` et de rayon `R =3`

`(Delta)` la droite passant par `A` de vecteur directeur `vec(u)(2, -2, 1) `

1) a) Calculer la distance `OmegaA`

b) Montrer que `(Omega A) bot (Delta)`

c) En déduire la position relative de la droite `(Delta) ` et la sphère `(S) `

2) Soit ` a in R ` et `M_a(2a-3 , 3-2a , a-1)`

Montrer que `vec(AM_a) = (a-2)vec(u) ` , puis en déduire que ` forall a in R : M_a in (Delta) `

3) a) Vérifier que `2x-2y +z - 9a+13= 0 ` est une équation cartésienne du plan `(P_a) ` passant par `M_a` et perpendiculaire à la droite `(Delta)`

b) Vérifier que `d( Omega, P_a) = abs(3a-6) `

c) Déterminer les valeurs de `a` pour lesquelles `(P_a)` est tangent à la sphère `(S) `